Platinsensoren sind hervorragend für die Temperaturmeßtechnik geeignet. Der Grund ist ihre Austauschbarkeit. Alle PT1000-Sensoren haben 1000 Ohm Innenwiderstand. Dieser Wert gilt bei 0°C. Der Temperaturkoeffizient der Sensoren ist einheitlich 3850 ppm/K. Das heißt der Innenwiderstand des Sensors ändert sich bei 1 Grad Temperaturänderung um 0,385%. PT1000-Sensoren gibt es in den verschiedensten Bauformen für die verschiedensten Einsatzbereiche. An ein z.B. für PT1000 ausgelegtes Meßgerät läßt sich deshalb jeder PT1000-Sensor betreiben.
Vorteile
Nachteile
Dieses Kapitel soll in allen Einzelheiten zeigen, wie eine Schaltung für einen Pt1000 aufgebaut und berechnet wird:
Folgende Forderungen werden gestellt
Der erste Ansatz für eine Schaltung ist, den Pt1000 mit einer Konstantstromquelle zu versorgen.
Bild 1
Wie sieht es nun mit der geforderten Genauigkeit aus, also die Abweichung der Pt1000 Kennlinie zu einer Geraden. Um die optimale Gerade zu bestimmen werden alle Werte der Kennlinie in eine Regressionsgleichung gesteckt. Das Ergebnis ist die Steigung und die Nullpunktabweichung dieser Geraden.
Hier die Ausgangswerte. Sie wurden der Din Tabelle EN60751 entnommen.
| Wertepaar |
Widerstand [Ohm] |
Temperatur [°C] |
Ua [V] |
| 1 | 921,599 | -20 | 0,922 |
| 2 | 960,859 | -10 | 0,961 |
| 3 | 1000,000 | 0 | 1,000 |
| 4 | 1039,025 | 10 | 1,039 |
| 5 | 1077,935 | 20 | 1,078 |
| 6 | 1116,729 | 30 | 1,117 |
| 7 | 1155,408 | 40 | 1,155 |
| 8 | 1193,971 | 50 | 1,194 |
| 9 | 1232,419 | 60 | 1,232 |
| 10 | 1270,751 | 70 | 1,271 |
| 11 | 1308,968 | 80 | 1,309 |
Tabelle 1
Die Gleichung für eine Gerade ist
Gleichung 1
Y = Temperatur in °C
X = Widerstand in Ohm
A = Nullpunktabweichung
B = Steigung
Um aus vielen X und Y Werten die Parameter A und B zu berechnen werden folgende Gleichungen benutzt:
Gleichung 2
Gleichung 3
Nach Einsetzen aller Werte aus Tabelle 1 berechnet sich
B = 0,58149
A = -258,133063
Aus dieser Gleichung kann jetzt eine Tabelle erstellt werden. Die X-Werte sind die Widerstandswerte aus Tabelle 1 und die Y-Werte sind die Temperaturen, die durch Gleichung 1 berechnet wurden (Spalte 4). Die dritte Spalte enthält die Temperturwerte, die eigentlich sein sollten und die fünfte Spalte den absoluten Fehler. Dieser berechnet sich zu
Gleichung 4
| Wertepaar | Widerstand [Ohm] |
Temperatur [°C] |
Temperatur [°C] |
Absoluter Fehler [°C] |
| 1 | 921,599 | -20 | -20,2234 | -0,2234 |
| 2 | 960,859 | -10 | -10,0885 | -0,0885 |
| 3 | 1000,000 | 0 | 0,0157 | 0,0157 |
| 4 | 1039,025 | 10 | 10,0899 | 0,0899 |
| 5 | 1077,935 | 20 | 20,1345 | 0,1345 |
| 6 | 1116,729 | 30 | 30,1491 | 0,1491 |
| 7 | 1155,408 | 40 | 40,1341 | 0,1341 |
| 8 | 1193,971 | 50 | 50,0891 | 0,0891 |
| 9 | 1232,419 | 60 | 60,0144 | 0,0144 |
| 10 | 1270,751 | 70 | 69,9097 | -0,0903 |
| 11 | 1308,968 | 80 | 79,7754 | -0,2246 |
Tabelle 2
Als Grafik sieht das dann so aus
Bild 2
Also: Voll daneben. Die geforderte Genauigkeit ist durch die einfache Schaltung nicht zu erreichen.
Es ist also eine Linearisierung der Kennlinie erforderlich.
Eine Grundvoraussetzung für die Berechnung des Linearisierungswiderstandes ist die Definition des Arbeitsbereiches des Sensors. Mit ihm läßt sich der Fehler bei drei Punkten zu Null machen. Einen einfachen Näherungswert erhält man dadurch, daß man den gewünschten Temperaturbereich auf die Meßbereichsgrenzen legt (Bild 3). Die Linearisierungsbedingung ergibt sich dann aus der Forderung, daß die Widerstandänderung der Parallelschaltung des Sensors mit dem Parallelwiderstand in der unteren Hälfte des Meßbereichs genauso groß sein soll wie in der oberen (dR1 = dR2).
Bild 3
Aus Bild 3 läßt sich dadurch folgende Gleichung ableiten:
Gleichung 5
Diese Gleichung wird nach Rp aufgelöst
Gleichung 6
mit
Rp = parallel Widerstand
Ru = unterer Widerstandswert des Bereiches (921,599 Ohm bei
-20°C)
Rm = mittlerer Widerstandswert des Bereiches (1116,729 Ohm bei
30°C)
Ro = oberer Widerstandswert des Bereiches (1308,968 Ohm bei 80°C)
Der Gesamtwiderstand des Sensors Rg berechnet sich dann durch die Gleichung für parallel liegende Widerstände:
Gleichung 7
Rg = Gesamtwiderstand
Rs = Sensorwiderstand
Rp = Parallelwiderstand
Die Schaltung würde dann so aussehen
Bild 4
Und jetzt nach dem gleichen Verfahren (wie bei Tabelle 2) die Berechnung des absoluten Fehlers.
| Wertepaar |
Widerstand [Ohm] |
Temperatur [°C] |
Temperatur [°C] |
Absoluter Fehler [°C] |
| 1 | 954,168 | -20 | -19,999 | 0,00127 |
| 2 | 996,315 | -10 | -9,999 | 0,00066 |
| 3 | 1038,462 | 0 | 0,000 | -0,00020 |
| 4 | 1080,609 | 10 | 9,999 | -0,00067 |
| 5 | 1122,760 | 20 | 19,999 | -0,00064 |
| 6 | 1164,910 | 30 | 29,999 | -0,00049 |
| 7 | 1207,062 | 40 | 39,999 | -0,00009 |
| 8 | 1249,213 | 50 | 50,000 | 0,00016 |
| 9 | 1291,364 | 60 | 60,000 | 0,00038 |
| 10 | 1333,513 | 70 | 70,000 | 0,00019 |
| 11 | 1375,660 | 80 | 79,999 | -0,00030 |
Tabelle 3
und hier die zugehörige Grafik:
Bild 5
Das sieht schon wesentlich besser aus. Der absolute Fehler ist sogar noch um einen Faktor 10 kleiner als gewünscht.
Jetzt stellt sich nur noch die Frage, wo man einen negativen Widerstand von -27 kOhm herbekommt. Kaufen kann man ihn nicht, aber elektronisch erzeugen, in dem man eine Konstantstromquelle mit einem negativen Innenwiderstand entwickelt.
Bild 6
Dazu nehmen wir eine Stromquellen-Grundschaltung für Verbraucher die an Masse liegen.
Bild 7
Die Funktion beruht darauf, das der Ausgangsstrom über den Spannungsabfall von R1 gemessen wird. Zur Berechnung des Ausgangsstromes I2 können die Knotenregeln auf den P- und N-Eingang angewendet werden.
Knoten 1 beschreibt die Ströme am negativen Eingang des OP
Knoten 2 beschreibt die Ströme am positiven Eingang des OP
Knoten 3 beschreibt die Ströme am Ausgang der Schaltung
Da UN und UP den virtuellen Nullpunkt des OPs bilden dürfen sie gleichgesetzt werden.
UP = UN = U
Knoten 1 wird nach UA aufgelöst
Knoten 2 wird nach U aufgelöst
Knoten 3 wird nach I2 aufgelöst
Knoten 1 wird in Knoten 3 eingesetzt
In diese Gleichung wird nun Knoten 2 eingesetzt
Der zweite Therm wird auf einen gemeinsamen Nenner gebracht
Es wird gekürzt und ausmultipliziert
Es wird gekürzt und zusammengefasst
Gleichung 8
Der Therm neben U2 beschreibt den Kehrwert des Ausgangswiderstandes.
Wird R2 jetzt kleiner als R3 wird der Ausgangswiderstand Negativ.
für R2 < R3 gilt dann
Die Gleichung wird nach R3 umgestellt
R1 und R2 werden vorgegeben, wobei R1 schon ganz gut kalkuliert werden kann. Geht man davon aus, das R1 viel kleiner ist als R2 (so ungefähr den Faktor 10) dann ändert sich die Ausgangsspannung nur um sehr kleine Werte, d.h. der Ausgangsstrom wird überwiegend durch I2 = U1 / R1 bestimmt. Wird die Eingangsspannung U1 von einer 2,5 Volt Referenzspannungsquelle gespeist, und der Ausgangsstrom soll ungefähr 1mA betragen, dann ist R1 = U1 / I2 = 2,5 / 0,001 = 2500 Ohm. Gewählt wird R1 = 2,4 kOhm. Da R2 ungefähr um den Faktor 10 größer sein soll als R1, wird R2 mit 24kOhm gewählt. Der Ausgangswiderstand Ra soll identisch sein mit dem aus Gleichung 6 berechneten Parallelwiderstand.
R1 = 2400 Ohm
R2 = 24000 Ohm
Ra = -27067 Ohm
Für R3 wird 22 kOhm gewählt.
Bild 8
und jetzt noch eine Kontrollrechnung
| Wertepaar |
Widerstand [Ohm] |
Temperatur [°C] |
Temperatur [°C] |
Absoluter Fehler [°C] |
| 1 | 952,065 | -20 | -19,987 | 0,01276 |
| 2 | 994,023 | -10 | -9,982 | 0,01839 |
| 3 | 1035,971 | 0 | 0,022 | 0,02163 |
| 4 | 1077,913 | 10 | 9,879 | 0,02347 |
| 5 | 1119,849 | 20 | 20,024 | 0,02381 |
| 6 | 1161,777 | 30 | 30,022 | 0,02229 |
| 7 | 1203,698 | 40 | 40,019 | 0,01908 |
| 8 | 1245,611 | 50 | 50,014 | 0,01398 |
| 9 | 1287,515 | 60 | 60,007 | 0,00673 |
| 10 | 1329,409 | 70 | 69,997 | -0,00291 |
| 11 | 1371,294 | 80 | 79,985 | -0,01469 |
Tabelle 4
und hier die zugehörige Grafik
Bild 9
Es zeigt sich, das die geforderte Genauigkeit mit einem Ausgangswiderstand von -28800 Ohm nicht erreicht wird. R3 muß also korrigiert werden. Es wird ein 47 Ohm Widerstand in Reihe geschaltet. Daraus berechnet sich dann ein Ausgangswiderstand von -27093 Ohm.
| Wertepaar |
Widerstand [Ohm] |
Temperatur [°C] |
Temperatur [°C] |
Absoluter Fehler [°C] |
| 1 | 954,052 | -20 | -19,999 | 0,00066 |
| 2 | 996,189 | -10 | -9,999 | 0,00059 |
| 3 | 1038,324 | 0 | 0,000 | 0,00016 |
| 4 | 1080,461 | 10 | 10,000 | 0,00001 |
| 5 | 1122,599 | 20 | 20,000 | 0,00026 |
| 6 | 1164,738 | 30 | 30,001 | 0,00052 |
| 7 | 1206,876 | 40 | 40,001 | 0,00092 |
| 8 | 1249,014 | 50 | 50,001 | 0,00106 |
| 9 | 1291,152 | 60 | 60,001 | 0,00107 |
| 10 | 1333,287 | 70 | 70,001 | 0,00056 |
| 11 | 1375,420 | 80 | 80,000 | -0,00036 |
Tabelle 5
Hier die zugehörige Grafik
Bild 10
Jetzt sind wir wieder auf der sicheren Seite. Es zeigt sich aber auch, das bei dieser Genauigkeitsanforderung die Toleranz der Widerstände schon eine sehr große Rolle spielt. Eine Abweichung von 47 Ohm bei 27000 Ohm entspricht ca. 0,25%. Die Toleranz normaler Metallschicht-Widerstände liegt bei 1%. Bei der Berechnung von Ra sollten deshalb R1, R2 und R3 ausgemessen werden, wobei noch zusätzlich darauf zu achten ist, das die Widerstände in der Schaltung doppelt vorhanden sind. Beide R1, R2 und R3 sollten so gut wie möglich übereinstimmen.
Das ist aber erst die Hälfte der Schaltung. Gefordert ist noch der Ausgangsspannungsbereich von 0,1 bis 4,1 Volt. Die 0,1 Volt wurden deswegen gewählt, weil bei einer einfachen Versorgungsspannung die Operationsverstärker nicht bis 0 Volt herunterregeln.
Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten, die Eingangsspannungskennlinie (identisch mit der Spannung U2 über dem Pt1000) des Verstärkers zu berechnen:
1. Über den Strom
Der Ausgangsstrom wird zum größten Teil von R1 bestimmt und liegt bei
I2 = U1 / R1 = 2,5V / 2400 Ohm = 1,04166 mA
U2 = I2 * Rg
2. Über die Widerstände
Um U2 zu berechnen, stellen wir Gleichung 8 mit der Randbedingung U2 = Rs * I2 um.
Für beide Verfahren wird jetzt die Tabelle erstellt, um den Ausgangsspannungsbereich darzustellen. Sie ist von Tabelle 3 abgeleitet.
| Wertepaar |
Widerstand |
Widerstand Rg [Ohm] |
Temperatur |
U2.2 |
U2.1 |
U3 |
| 1 | 921,599 | 954,052 | -20 | 0,99380 | 0,99380 | 0,1 |
| 2 | 960,859 | 996,189 | -10 | 1,03770 | 1,03769 | 0,5 |
| 3 | 1000,000 | 1038,324 | 0 | 1,08159 | 1,08158 | 0,9 |
| 4 | 1039,025 | 1080,461 | 10 | 1,12548 | 1,12547 | 1,3 |
| 5 | 1077,935 | 1122,599 | 20 | 1,16937 | 1,16937 | 1,7 |
| 6 | 1116,729 | 1164,738 | 30 | 1,21327 | 1,21326 | 2,1 |
| 7 | 1155,408 | 1206,876 | 40 | 1,25716 | 1,25715 | 2,5 |
| 8 | 1193,971 | 1249,014 | 50 | 1,30106 | 1,30105 | 2,9 |
| 9 | 1232,419 | 1291,152 | 60 | 1,34495 | 1,34494 | 3,3 |
| 10 | 1270,751 | 1333,287 | 70 | 1,38884 | 1,38883 | 3,7 |
| 11 | 1308,968 | 1375,420 | 80 | 1,43273 | 1,43272 | 4,1 |
Tabelle 6
Es ist sofort zu erkennen, das beide Möglichkeiten das gleiche Ergebnis liefern. Es sollte jedoch der zweite Weg benutzt werden, da R1, R2 und R3 ausgemessen werden.
Um die Kennlinie von U3 zu erreichen muß der Nullpunkt und die Verstärkung von U2 verschoben werden. Um U2 so wenig wie möglich zu belasten, wird ein Elektrometerverstärker benutzt:
Bild 11
Zur Berechnung der Ausgangsspannung U3 können wieder die Knotenregeln auf den P- und N-Eingang angewendet werden.
Up = U1
umstellen nach U3
mit Un = Up
Gleichung 9
Der Therm bei U1 ist die Verstärkung des Elektrometers
Gleichung 10
Ziel der Gleichungsherleitung ist die Berechnung von R1, R2 und R3. Da nur zwei Gleichungen zur Verfügung stehen, wird R1 vorgegeben. Als erstes wird R2 berechnet. Dazu wird Gleichung 10 nach R3 aufgelöst und in Gleichung 9 eingesetzt.
einsetzen in Gleichung 10
Rp auflösen und einsetzen
alles mit R1+R2 multiplizieren
Gleichung 11
R1 und R2 sind jetzt bekannt und es kann Gleichung 10 umgestellt werden um R3 zu berechnen
Gleichung 12
und jetzt die Berechnungen:
R1 = 2700 + 82 = 2782 Ohm
U1 = 1,433 Volt (irgendwas aus Tabelle 6)
U2 = Uref = 2,500 Volt
U3 = 4,100 Volt (zugehöriger Wert zu U2 aus Tabelle 6)
A = (4,1 - 0,1) / ( 1,433 - 0,994) = 9.112
gewählt wird R2 = 2200 Ohm
gewählt wird R3 = 10000 Ohm
Und jetzt das Ganze mal kontrollieren. Am besten für den kleinsten und den größten Wert. Dazu nehmen wir Gleichung 9 und setzen gleich die berechnete Verstärkung ein.
Das entspricht nicht genau den Vorgaben aus Tabelle 4, liegt aber im Arbeitsbereich des OP. Sollen die Vorgaben exakt erfüllt werden, kann R2 um einen Trimmer erweitert werden um den Nullpunkt abzugleichen. Wird R3 um einen Trimmer erweitert, kann die Verstärkung eingestellt werden. Um keinen iterativen Prozess zu durchlaufen, sollte R1 bei einer identischen Ein- und Ausgangsspannung (U über R3 = 0) eingestellt werden. Danach läßt sich dann über R3 die Verstärkung bei einer beliebigen anderen Eingangsspannung einstellen ohne das der Nullpunkt verändert wird.
Um diesen Spannungswert zu finden, schauen wir uns noch einmal die Knotengleichung des Elektrometerverstärkers an
Die Bedingung ist, das die Spannung über R3 = 0 Volt ist, also ist auch der Strom durch R3 = 0. Daraus ergibt sich
Mit Un = Up = U1 und aufgelöst nach U1 ergibt das
Wird also an U1 eine Spannung von 1,104 Volt angelegt, muß R2 so lange verändert werden bis U3 auch auf 1,104 Volt steht. Danach kann dann an U1 z.B. die höchste Spannung von 1.433 Volt angelegt werden und R3 wird so lange geändert bis U3 = 4,100 Volt beträgt.
Jetzt werden alle einzelnen Teile zusammengeschaltet. Die Referenzspannungsquelle wird noch zusätzlich über einen Impedanzwandler gepuffert. Der Ausgang ebenfalls.
Bild 12
Leider steht kein Pt1000 Simulator zur Verfügung, so das einige Widerstände mit einem Multimeter ausgemessen werden. Die zugehörigen Temperaturen werden nach der Gleichung für Platin-Temperatur-Sensoren ermittelt.
Gleichung 13
mit
A = 3.90802 * 10-3 1/°C
B = 0.580195 * 10-6 1/°C
R0 = 1000 Ohm
Um die Temperatur zu bestimmen muß die Gleichung nach T umgestellt werden
Gleichung 14
| Wertepaar |
Widerstand [Ohm] |
Widerstand [Ohm] |
Temperatur [°C] |
U3 [Volt] |
1 |
996 |
1034 |
-1,02 |
0,915 |
2 |
1097 |
1143 |
24,91 |
1,966 |
3 |
1195 |
1250 |
50,27 |
2,991 |
4 |
1295 |
1360 |
76,35 |
4,050 |
Tabelle 7
Die Ausgangsspannung als Funktion der Temperatur wird mit diesen Parametern durch eine lineare Regression bestimmt
T [°C] = A * U3 [V] + B
A = 24,685
B = -23,605
und es ergibt sich die entgültige Gleichung, die den geforderten Bedingungen genügt.
T [°C] = 24,685 * U3 [V] - 23,605