Pt1000 Temperatursensor

7.3 Temperatursensor mit Pt1000


7.3 Temperatursensor mit Pt1000

Platinsensoren sind hervorragend für die Temperaturmeßtechnik geeignet. Der Grund ist ihre Austauschbarkeit. Alle PT1000-Sensoren haben 1000 Ohm Innenwiderstand. Dieser Wert gilt bei 0°C. Der Temperaturkoeffizient der Sensoren ist einheitlich 3850 ppm/K. Das heißt der Innenwiderstand des Sensors ändert sich bei 1 Grad Temperaturänderung um 0,385%. PT1000-Sensoren gibt es in den verschiedensten Bauformen für die verschiedensten Einsatzbereiche. An ein z.B. für PT1000 ausgelegtes Meßgerät läßt sich deshalb jeder PT1000-Sensor betreiben.

Vorteile

Nachteile

Dieses Kapitel soll in allen Einzelheiten zeigen, wie eine Schaltung für einen Pt1000 aufgebaut und berechnet wird:

7.3.1 Grundschaltung

Folgende Forderungen werden gestellt

  1. Meßbereich: -20 bis +80 °C
  2. Ausgangsspannung: 0,1 bis 4,1 Volt
  3. Auflösung: dU / dT = 100 °C / 4000mV = 0,025 °C/mV
  4. Absoluter Meßfehler: kleiner 0,0125 °C
  5. Versorgungsspannung: 5 bis 12 Volt

Der erste Ansatz für eine Schaltung ist, den Pt1000 mit einer Konstantstromquelle zu versorgen.

 Bild 1

Wie sieht es nun mit der geforderten Genauigkeit aus, also die Abweichung der Pt1000 Kennlinie zu einer Geraden. Um die optimale Gerade zu bestimmen werden alle Werte der Kennlinie in eine Regressionsgleichung gesteckt. Das Ergebnis ist die Steigung und die Nullpunktabweichung dieser Geraden.

Hier die Ausgangswerte. Sie wurden der Din Tabelle EN60751 entnommen.
Wertepaar

Widerstand [Ohm]
Rs

Temperatur [°C]
T(Rs)

Ua [V]
1 921,599 -20 0,922
2 960,859 -10 0,961
3 1000,000 0 1,000
4 1039,025 10 1,039
5 1077,935 20 1,078
6 1116,729 30 1,117
7 1155,408 40 1,155
8 1193,971 50 1,194
9 1232,419 60 1,232
10 1270,751 70 1,271
11 1308,968 80 1,309

Tabelle 1

Die Gleichung für eine Gerade ist

 Gleichung 1

Y = Temperatur in °C
X = Widerstand in Ohm
A = Nullpunktabweichung
B = Steigung

Um aus vielen X und Y Werten die Parameter A und B zu berechnen werden folgende Gleichungen benutzt:

 Gleichung 2

 Gleichung 3

Nach Einsetzen aller Werte aus Tabelle 1 berechnet sich

B = 0,58149
A = -258,133063

Aus dieser Gleichung kann jetzt eine Tabelle erstellt werden. Die X-Werte sind die Widerstandswerte aus Tabelle 1 und die Y-Werte sind die Temperaturen, die durch Gleichung 1 berechnet wurden (Spalte 4). Die dritte Spalte enthält die Temperturwerte, die eigentlich sein sollten und die fünfte Spalte den absoluten Fehler. Dieser berechnet sich zu

 Gleichung 4

Wertepaar Widerstand [Ohm]

Temperatur [°C]
Sollwert

Temperatur [°C]
Istwert

Absoluter Fehler [°C]
1 921,599 -20 -20,2234 -0,2234
2 960,859 -10 -10,0885 -0,0885
3 1000,000 0 0,0157 0,0157
4 1039,025 10 10,0899 0,0899
5 1077,935 20 20,1345 0,1345
6 1116,729 30 30,1491 0,1491
7 1155,408 40 40,1341 0,1341
8 1193,971 50 50,0891 0,0891
9 1232,419 60 60,0144 0,0144
10 1270,751 70 69,9097 -0,0903
11 1308,968 80 79,7754 -0,2246

Tabelle 2

Als Grafik sieht das dann so aus

Bild 2

Also: Voll daneben. Die geforderte Genauigkeit ist durch die einfache Schaltung nicht zu erreichen.

Es ist also eine Linearisierung der Kennlinie erforderlich.

7.3.2 Linearisierung

Eine Grundvoraussetzung für die Berechnung des Linearisierungswiderstandes ist die Definition des Arbeitsbereiches des Sensors. Mit ihm läßt sich der Fehler bei drei Punkten zu Null machen. Einen einfachen Näherungswert erhält man dadurch, daß man den gewünschten Temperaturbereich auf die Meßbereichsgrenzen legt (Bild 3). Die Linearisierungsbedingung ergibt sich dann aus der Forderung, daß die Widerstandänderung der Parallelschaltung des Sensors mit dem Parallelwiderstand in der unteren Hälfte des Meßbereichs genauso groß sein soll wie in der oberen (dR1 = dR2).

 Bild 3

Aus Bild 3 läßt sich dadurch folgende Gleichung ableiten:

 Gleichung 5

Diese Gleichung wird nach Rp aufgelöst

 Gleichung 6

mit
Rp = parallel Widerstand
Ru = unterer Widerstandswert des Bereiches (921,599 Ohm bei -20°C)
Rm = mittlerer Widerstandswert des Bereiches (1116,729 Ohm bei 30°C)
Ro = oberer Widerstandswert des Bereiches (1308,968 Ohm bei 80°C)

Der Gesamtwiderstand des Sensors Rg berechnet sich dann durch die Gleichung für parallel liegende Widerstände:

 Gleichung 7

Rg = Gesamtwiderstand
Rs = Sensorwiderstand
Rp = Parallelwiderstand

Die Schaltung würde dann so aussehen

 Bild 4

Und jetzt nach dem gleichen Verfahren (wie bei Tabelle 2) die Berechnung des absoluten Fehlers.
Wertepaar

Widerstand [Ohm]
Rg

Temperatur [°C]
Sollwert

Temperatur [°C]
Istwert

Absoluter Fehler [°C]
1 954,168 -20 -19,999 0,00127
2 996,315 -10 -9,999 0,00066
3 1038,462 0 0,000 -0,00020
4 1080,609 10 9,999 -0,00067
5 1122,760 20 19,999 -0,00064
6 1164,910 30 29,999 -0,00049
7 1207,062 40 39,999 -0,00009
8 1249,213 50 50,000 0,00016
9 1291,364 60 60,000 0,00038
10 1333,513 70 70,000 0,00019
11 1375,660 80 79,999 -0,00030

Tabelle 3

und hier die zugehörige Grafik:

 Bild 5

Das sieht schon wesentlich besser aus. Der absolute Fehler ist sogar noch um einen Faktor 10 kleiner als gewünscht.

Jetzt stellt sich nur noch die Frage, wo man einen negativen Widerstand von -27 kOhm herbekommt. Kaufen kann man ihn nicht, aber elektronisch erzeugen, in dem man eine Konstantstromquelle mit einem negativen Innenwiderstand entwickelt.

 Bild 6

Dazu nehmen wir eine Stromquellen-Grundschaltung für Verbraucher die an Masse liegen.

Bild 7

Die Funktion beruht darauf, das der Ausgangsstrom über den Spannungsabfall von R1 gemessen wird. Zur Berechnung des Ausgangsstromes I2 können die Knotenregeln auf den P- und N-Eingang angewendet werden.

Knoten 1 beschreibt die Ströme am negativen Eingang des OP

Knoten 2 beschreibt die Ströme am positiven Eingang des OP

Knoten 3 beschreibt die Ströme am Ausgang der Schaltung

Da UN und UP den virtuellen Nullpunkt des OPs bilden dürfen sie gleichgesetzt werden.

UP = UN = U

Knoten 1 wird nach UA aufgelöst

Knoten 2 wird nach U aufgelöst

Knoten 3 wird nach I2 aufgelöst

Knoten 1 wird in Knoten 3 eingesetzt

In diese Gleichung wird nun Knoten 2 eingesetzt

Der zweite Therm wird auf einen gemeinsamen Nenner gebracht

Es wird gekürzt und ausmultipliziert

Es wird gekürzt und zusammengefasst

 Gleichung 8

Der Therm neben U2 beschreibt den Kehrwert des Ausgangswiderstandes.

Wird R2 jetzt kleiner als R3 wird der Ausgangswiderstand Negativ.

für R2 < R3 gilt dann

Die Gleichung wird nach R3 umgestellt

R1 und R2 werden vorgegeben, wobei R1 schon ganz gut kalkuliert werden kann. Geht man davon aus, das R1 viel kleiner ist als R2 (so ungefähr den Faktor 10) dann ändert sich die Ausgangsspannung nur um sehr kleine Werte, d.h. der Ausgangsstrom wird überwiegend durch I2 = U1 / R1 bestimmt. Wird die Eingangsspannung U1 von einer 2,5 Volt Referenzspannungsquelle gespeist, und der Ausgangsstrom soll ungefähr 1mA betragen, dann ist R1 = U1 / I2 = 2,5 / 0,001 = 2500 Ohm. Gewählt wird R1 = 2,4 kOhm. Da R2 ungefähr um den Faktor 10 größer sein soll als R1, wird R2 mit 24kOhm gewählt. Der Ausgangswiderstand Ra soll identisch sein mit dem aus Gleichung 6 berechneten Parallelwiderstand.

R1 = 2400 Ohm
R2 = 24000 Ohm
Ra = -27067 Ohm

Für R3 wird 22 kOhm gewählt.

 Bild 8

und jetzt noch eine Kontrollrechnung

Wertepaar

Widerstand [Ohm]
Rg

Temperatur [°C]
Sollwert

Temperatur [°C]
Istwert

Absoluter Fehler [°C]
1 952,065 -20 -19,987 0,01276
2 994,023 -10 -9,982 0,01839
3 1035,971 0 0,022 0,02163
4 1077,913 10 9,879 0,02347
5 1119,849 20 20,024 0,02381
6 1161,777 30 30,022 0,02229
7 1203,698 40 40,019 0,01908
8 1245,611 50 50,014 0,01398
9 1287,515 60 60,007 0,00673
10 1329,409 70 69,997 -0,00291
11 1371,294 80 79,985 -0,01469

Tabelle 4

und hier die zugehörige Grafik

Bild 9

Es zeigt sich, das die geforderte Genauigkeit mit einem Ausgangswiderstand von -28800 Ohm nicht erreicht wird. R3 muß also korrigiert werden. Es wird ein 47 Ohm Widerstand in Reihe geschaltet. Daraus berechnet sich dann ein Ausgangswiderstand von -27093 Ohm.

Wertepaar

Widerstand [Ohm]
Rg

Temperatur [°C]
Sollwert

Temperatur [°C]
Istwert

Absoluter Fehler [°C]
1 954,052 -20 -19,999 0,00066
2 996,189 -10 -9,999 0,00059
3 1038,324 0 0,000 0,00016
4 1080,461 10 10,000 0,00001
5 1122,599 20 20,000 0,00026
6 1164,738 30 30,001 0,00052
7 1206,876 40 40,001 0,00092
8 1249,014 50 50,001 0,00106
9 1291,152 60 60,001 0,00107
10 1333,287 70 70,001 0,00056
11 1375,420 80 80,000 -0,00036

Tabelle 5

Hier die zugehörige Grafik

Bild 10

Jetzt sind wir wieder auf der sicheren Seite. Es zeigt sich aber auch, das bei dieser Genauigkeitsanforderung die Toleranz der Widerstände schon eine sehr große Rolle spielt. Eine Abweichung von 47 Ohm bei 27000 Ohm entspricht ca. 0,25%. Die Toleranz normaler Metallschicht-Widerstände liegt bei 1%. Bei der Berechnung von Ra sollten deshalb R1, R2 und R3 ausgemessen werden, wobei noch zusätzlich darauf zu achten ist, das die Widerstände in der Schaltung doppelt vorhanden sind. Beide R1, R2 und R3 sollten so gut wie möglich übereinstimmen.

Das ist aber erst die Hälfte der Schaltung. Gefordert ist noch der Ausgangsspannungsbereich von 0,1 bis 4,1 Volt. Die 0,1 Volt wurden deswegen gewählt, weil bei einer einfachen Versorgungsspannung die Operationsverstärker nicht bis 0 Volt herunterregeln.

7.3.3 Verstärkung

Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten, die Eingangsspannungskennlinie (identisch mit der Spannung U2 über dem Pt1000) des Verstärkers zu berechnen:

1. Über den Strom

Der Ausgangsstrom wird zum größten Teil von R1 bestimmt und liegt bei

I2 = U1 / R1 = 2,5V / 2400 Ohm = 1,04166 mA

U2 = I2 * Rg

2. Über die Widerstände

Um U2 zu berechnen, stellen wir Gleichung 8 mit der Randbedingung U2 = Rs * I2 um.

Für beide Verfahren wird jetzt die Tabelle erstellt, um den Ausgangsspannungsbereich darzustellen. Sie ist von Tabelle 3 abgeleitet.
Wertepaar

Widerstand
Rs [Ohm]

Widerstand
Rg [Ohm]

Temperatur
[°C]

U2.2
[Volt]

U2.1
[Volt]

U3
[Volt]

1 921,599 954,052 -20 0,99380 0,99380 0,1
2 960,859 996,189 -10 1,03770 1,03769 0,5
3 1000,000 1038,324 0 1,08159 1,08158 0,9
4 1039,025 1080,461 10 1,12548 1,12547 1,3
5 1077,935 1122,599 20 1,16937 1,16937 1,7
6 1116,729 1164,738 30 1,21327 1,21326 2,1
7 1155,408 1206,876 40 1,25716 1,25715 2,5
8 1193,971 1249,014 50 1,30106 1,30105 2,9
9 1232,419 1291,152 60 1,34495 1,34494 3,3
10 1270,751 1333,287 70 1,38884 1,38883 3,7
11 1308,968 1375,420 80 1,43273 1,43272 4,1

Tabelle 6

Es ist sofort zu erkennen, das beide Möglichkeiten das gleiche Ergebnis liefern. Es sollte jedoch der zweite Weg benutzt werden, da R1, R2 und R3 ausgemessen werden.

Um die Kennlinie von U3 zu erreichen muß der Nullpunkt und die Verstärkung von U2 verschoben werden. Um U2 so wenig wie möglich zu belasten, wird ein Elektrometerverstärker benutzt:

 Bild 11

Zur Berechnung der Ausgangsspannung U3 können wieder die Knotenregeln auf den P- und N-Eingang angewendet werden.

Up = U1

umstellen nach U3

mit Un = Up

 Gleichung 9

Der Therm bei U1 ist die Verstärkung des Elektrometers

 Gleichung 10

Ziel der Gleichungsherleitung ist die Berechnung von R1, R2 und R3. Da nur zwei Gleichungen zur Verfügung stehen, wird R1 vorgegeben. Als erstes wird R2 berechnet. Dazu wird Gleichung 10 nach R3 aufgelöst und in Gleichung 9 eingesetzt.

einsetzen in Gleichung 10

Rp auflösen und einsetzen

alles mit R1+R2 multiplizieren

 Gleichung 11

R1 und R2 sind jetzt bekannt und es kann Gleichung 10 umgestellt werden um R3 zu berechnen

 Gleichung 12

und jetzt die Berechnungen:

R1 = 2700 + 82 = 2782 Ohm
U1 = 1,433 Volt (irgendwas aus Tabelle 6)
U2 = Uref = 2,500 Volt
U3 = 4,100 Volt (zugehöriger Wert zu U2 aus Tabelle 6)

A = (4,1 - 0,1) / ( 1,433 - 0,994) = 9.112

gewählt wird R2 = 2200 Ohm

gewählt wird R3 = 10000 Ohm

Und jetzt das Ganze mal kontrollieren. Am besten für den kleinsten und den größten Wert. Dazu nehmen wir Gleichung 9 und setzen gleich die berechnete Verstärkung ein.

Das entspricht nicht genau den Vorgaben aus Tabelle 4, liegt aber im Arbeitsbereich des OP. Sollen die Vorgaben exakt erfüllt werden, kann R2 um einen Trimmer erweitert werden um den Nullpunkt abzugleichen. Wird R3 um einen Trimmer erweitert, kann die Verstärkung eingestellt werden. Um keinen iterativen Prozess zu durchlaufen, sollte R1 bei einer identischen Ein- und Ausgangsspannung (U über R3 = 0) eingestellt werden. Danach läßt sich dann über R3 die Verstärkung bei einer beliebigen anderen Eingangsspannung einstellen ohne das der Nullpunkt verändert wird.

Um diesen Spannungswert zu finden, schauen wir uns noch einmal die Knotengleichung des Elektrometerverstärkers an

Die Bedingung ist, das die Spannung über R3 = 0 Volt ist, also ist auch der Strom durch R3 = 0. Daraus ergibt sich

Mit Un = Up = U1 und aufgelöst nach U1 ergibt das

Wird also an U1 eine Spannung von 1,104 Volt angelegt, muß R2 so lange verändert werden bis U3 auch auf 1,104 Volt steht. Danach kann dann an U1 z.B. die höchste Spannung von 1.433 Volt angelegt werden und R3 wird so lange geändert bis U3 = 4,100 Volt beträgt.

7.3.4 Praktische Schaltung

Jetzt werden alle einzelnen Teile zusammengeschaltet. Die Referenzspannungsquelle wird noch zusätzlich über einen Impedanzwandler gepuffert. Der Ausgang ebenfalls.

Bild 12

7.3.5 Kalibrierung

Leider steht kein Pt1000 Simulator zur Verfügung, so das einige Widerstände mit einem Multimeter ausgemessen werden. Die zugehörigen Temperaturen werden nach der Gleichung für Platin-Temperatur-Sensoren ermittelt.

 Gleichung 13

mit
A = 3.90802 * 10-3 1/°C
B = 0.580195 * 10-6 1/°C
R0 = 1000 Ohm

Um die Temperatur zu bestimmen muß die Gleichung nach T umgestellt werden

 Gleichung 14

Wertepaar

Widerstand [Ohm]
R(Pt)

Widerstand [Ohm]
Rg

Temperatur [°C]

U3 [Volt]

1

996

1034

-1,02

0,915

2

1097

1143

24,91

1,966

3

1195

1250

50,27

2,991

4

1295

1360

76,35

4,050

Tabelle 7

Die Ausgangsspannung als Funktion der Temperatur wird mit diesen Parametern durch eine lineare Regression bestimmt

T [°C] = A * U3 [V] + B

A = 24,685
B = -23,605

und es ergibt sich die entgültige Gleichung, die den geforderten Bedingungen genügt.

T [°C] = 24,685 * U3 [V] - 23,605

7.3.6 Layout

7.3.7 Software